Locos por la Geología

¿A qué Euclides nos referiremos aquí?

Empecemos por decir que el nombre original en griego se escribe Εὐκλείδης‚ y podría leerse Eukleides, y corresponde por lo menos a tres grandes personalidades históricas:

El Euclides conocido como «el Matemático» o «el Geómetra»-que es el que hoy nos convoca-; Euclides de Megara, cuyo campo de conocimiento es la Filosofía y que fue discípulo de Sócrates; y el que muchos siglos después se conocería como «el Euclides español», quien era en realidad el musulmán Abderramán Benismail, brillante geómetra que redactó un compendio de la obra aristotélica «Organon», y que mereció su apodo por el conocimiento matemático, que le obligó también a exiliarse por la persecución que se desató en su tiempo contra los estudiosos no ortodoxos.

Vuelvo pues a destacar que el nuestro de hoy es el Euclides matemático original.

¿Qué se sabe de la vida de Euclides?

No es mucho lo que de él se sabe, salvo que vivió aproximadamente entre los años 325 y 265 a. C. y que fue tal el legado que dejó tras de sí que se le conoce como «El Padre de la Geometría».

Sin embargo, sí puede asegurarse que siguiendo las sugerencias de Ptolomeo, fundó una Escuela de Matemáticas, en Alejandría- por ese entonces el centro del conocimiento y la sabiduría- y que generó tal devoción entre sus discípulos, que gran parte de su obra se conserva a través de las recopilaciones que ellos realizaron a partir de sus enseñanzas.

Hay dos hechos que pintan muy bien los rasgos sobresalientes de su personalidad y pensameinto.

Por una parte, tuvo la modestia de reconocer que no le era posible abarcar todo el saber existente, razón por la cual tomó el camino de la especialización, separando así las Matemáticas- en la que se consideraba más versado- del resto de la Filosofía, que por entonces pretendía resumir toda la sabiduría posible.

El otro hecho es una anécdota que se le atribuye, según la cual el rey Ptolomeo le preguntó si había una forma más fácil de acceder al conocimiento de la Geometría que la lectura de su libro Elementos, a lo cual Euclides (autor del libro en cuestión), respondió:

«No existe en Geometría ningún camino especial para los reyes».

¿Cuál fue su obra fundamental?

Según Heinrich Wieleitner, historiador científico de la primera mitad del S XX, la obra Elementos, de Euclides (completada con la recopilación de sus discípulos) es, luego de la Biblia y el Quijote, la más leída de todos los tiempos. Por supuesto esta afirmación debe tomarse en el contexto de la época en que se enunció, que fue mucho antes de la era de los best sellers.

También Carl Boyer dijo de Euclides, en 1956, que su obra fue la más ampliamente difundida de todos los tiempos, en el campo de la matemática, y le atribuye el mayor mérito a su formulación lógica de muchos conceptos (algunos ya existentes sobre todo en las escuelas de Eudoxio y Teaitetos), que supo organizar de manera impecable.

Elementos incluye XIII Libros, que a su vez sistematizan numerosas Proposiciones, Definiciones, Postulados y Nociones comunes.

Así , por ejemplo, el Libro I contiene 48 proposiciones, 23 definiciones, 5 postulados y  5 nociones comunes.

Las 48 proposiciones se pueden dividir en tres bloques, a saber: las primeras 26 tratan de las propiedades de los triángulos. Las siguientes seis establecen la teoría de las paralelas y demuestran que la suma de los ángulos de un triángulo suman lo mismo que dos ángulos rectos. Las restantes se refieren a los paralelogramos, triángulos, cuadrados, al Teorema de Pitágoras y a su inverso.

El Libro II se dirige al Álgebra geométrica, tiene 2 Definiciones y 14 Proposiciones

El Libro III alude a la Teoría de la circunferencia, con 11 definiciones y 37 proposiciones, 5 de las cuales son problemas y las otras teoremas.

El Libro IV atañe a las Figuras inscritas y circunscritas y consta de 7 definiciones y 16 proposiciones.

El Libro V incluye la Teoría de las proporciones abstractas, y en él se resuelve el problema planteado por el descubrimiento pitagórico de los números irracionales. Tiene 18 definiciones y 25 Proposiciones

El Libro VI trata sobre Figuras geométricas semejantes y proporcionales. Aquí se presenta la proposición de que la bisectriz interna del ángulo de un triángulo divide el lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los otros dos lados. Contiene 4 Definiciones y 33 Proposiciones (33 ).

El Libro VII es relativo a los Fundamentos de la teoría de los números. Debido a la riqueza de la temática propuesta, a diferencia de los libros anteriores, se permite la conformación de un bloque junto con los Libros VIII y IX en donde se completan algunos temas siempre relativos a las teoría de los números. Entre los tres, comprenden 102 proposiciones  que podrían considerarse como la sistematización del legado aritmético de raíces pitagóricas. El Libro VIII y IX, repito,  completan esta especie de compendio de aritmética.

El Libro X es el de Clasificación de los inconmensurables, es decir que trata de los números irracionales y consta de 16 definiciones repartidas en 3 grupos y 115 proposiciones.

El Libro XI es el de la Geometría de los sólidos y forma con los siguientes una nueva trilogía que atañe a la geometría del espacio. Hay 75 proposiciones, 63 de las cuales son teoremas y las demás, problemas.

El Libro XII se refiere a Medición de figuras y tiene 18 Proposiciones.

El Libro XIII comprende los Sólidos regulares, que incluyen los 5 sólidos platónicos, a saber: tetraedro, hexaedro, octoedro, dodecaedro e icosaedro. Presenta 18 Proposiciones.

¿Qué aplicación le da la Geología a sus teoremas y postulados?

Si ustedes se han tomado el trabajo de leer en detalle la descripción del libro Elementos, que les puse en la pregunta anterior, podrían contestar solitos a esta nueva interrogación…y estoy tentada de dejar que lo hagan…

Pero no, no se asusten, haremos la revisión juntos.

Lo primero que puede considerarse importante y novedoso, es su concepto de las dimensiones que implica una gran capacidad de abstracción.

Él supone que un punto no tiene tamaño; que una línea es un conjunto de puntos que no tienen ni ancho ni espesor sino solamente longitud; que una superficie no tiene espesor, etcétera. A partir de allí es que se le atribuye al punto, una dimensión nula, a la línea la dimensión igual a uno, a la superficie dimensión dos (ancho y largo) y al cuerpo sólido o poliedro, la dimensión tres.

Esto fue un pilar fundamental del conocimiento espacial al menos hasta la irrupción de la relatividad que incorpora al tiempo.

Por otra parte, ya desde el Libro I se alimenta a la Geología, ya que ésta se vale de la resolución de triángulos para establecer muchos valores de la topografía, como por ejemplo definir altitudes a partir de mediciones de distancias y ángulos. En este aspecto, es vital el teorema de Pitágoras que pasa a las siguientes generaciones, precisamente en esta recopilación, y que recordarán ustedes que es el que enuncia: «En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos».

Hoy por cierto, muchas herramientas virtuales permiten resoluciones instántaneas con sólo ingresar los datos pertinentes, pero todos esos modelos se basan en los conocimientos trigonométricos que nacen en la geometría euclideana, y en los conocimientos previos que ella sistematiza.

Los libros XI a XIII, que se centran en los sólidos regulares, abren el camino a la Cristalografía, que facilita el reconocimiento mineral.

Y por supuesto, toda la Teoría de Números es base fundamental para la estadística, el cálculo de superfices, volúmenes y reservas, y la generación de los nuevos modelos matemáticos que permiten por un lado una mejor comprensión de los eventos geológicos, y por el otro la elaboración de predicciones bastante aproximadas a la realidad.

Euclides no se refirió directamente a la Geología, pero todas las ciencias que lidian entre otras cosas con el espacio y su medición, le deben un impulso poderoso.

¿Qué pasa con la Geometría no Euclideana?

Según este postulado, por un punto exterior a una recta sólo puede trazarse una paralela a ella. Así lo expresó el matemático griego Proclo, y fue la manera que se popularizó con el nombre de axioma de Playfair o postulado de las paralelas.

Otra manera de formular este mismo postulado es la de Euclides:

Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos de un mismo lado que son menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los mencionados ángulos (ver figura 1). La intersección de esas rectas define precisamente el punto externo por el cual sólo una paralela ha de pasar.

Por mucho tiempo se trató de demostrar este postulado como teorema, hasta que en el siglo XIX, algunos trabajos inéditos de Carl Friedrich Gauss (1777-1855) y las investigaciones del matemático ruso Nikolai Lobachevski (1792-1856) dieron el fundamento para la geometría hiperbólica en la que no se cumple el quinto postulado y propiciaron el desarrollo de las geometrías no euclidianas, entre las que vale mencionar la geometría elíptica del matemático alemán Bernhard Riemann (1826-1866), y que luego resultaría más consistente con el modelo de espacio-tiempo relativista.

Para toda geometría que no introduzca el modelo con la cuarta dimensión atribuida al tiempo, la Geometría Euclideana sigue vigente con escasas correcciones.

LOS CINCO POSTULADOS DE EUCLIDES:

1. Se puede trazar una línea recta que pase por dos puntos.

2. Se puede prolongar una línea recta indefinidamente a partir de una recta finita.

3. Se puede trazar una circunferencia con centro y radio dado.

4. Todos los ángulos rectos son iguales.

5. La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.

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Un abrazo y hasta el miércoles. Graciela.
P.S.: Las dos imágenes que ilustran el post son de Wikipedia.